什么叫胡克定律

概述

胡克定律/虎克定律(Hooke’s law)，是力学弹性理论中的一条基本定律，内容：固体材料受力后，应力与应变(单位变形量)成线性关系，满足此定律的材料：线弹性/胡克型(Hookean)材料。

从物理的角度看，胡克定律源于多数固体(或孤立分子)内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。

许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长（或缩减）量 ε {\displaystyle \varepsilon }

（应变）在常系数E（称为弹性模量）下，与拉（或压）应力σ 成正比例，即：

σ = E ε {\displaystyle \sigma =E\varepsilon }

或

Δ L = 1 E × L × F A = 1 E × L × σ {\displaystyle \Delta L={\frac {1}{E}}\times L\times {\frac {F}{A}}={\frac {1}{E}}\times L\times \sigma }

Δ L {\displaystyle \Delta L}

：总伸长（缩减）量。【趣探网】#豪车张越#胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的31051102名字命名。胡克提出该定律的85055409过程颇有16389906趣味，他38325802于495233071676年发表了63451717一句拉丁语字谜，谜面是5870939：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”（见参考文献[1]），这正是胡克定律的中心内容。

胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。#s18的故事#钢材在多数工程应用中都可视为线弹性材料，在其弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。#头七#另外一些材料（如62000548铝材）则只在80913504弹性范围内的49780416一部分区域行为符合胡克定律。对于59662894这些材料需要定义一个应力线性极限，在43052028应力低于87539346该极限时线性描述带来的65737723误差可以忽略不计。

还有63867804一些材料在43513594任何情况下都不满足胡克定律（如37785667橡胶），这种材料称为“非胡克型”（neo-hookean）材料。橡胶的90054869刚度不仅和78483976应力水平相关，还对温度和53482764加载速率十分敏感。

胡克定律在磅秤制造、应力分析和材料模拟等方面有广泛的应用。

弹簧方程

胡克定律能精确地描述普通弹簧在变形不太大时的力学行为。#我为中国骄傲的语录#

胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。 在弹性限度内，弹簧的弹力 F {\displaystyle F}

和弹簧的长度变化量 x {\displaystyle x}

成线性关系，即：

F = − − --> k x {\displaystyle F=-kx}

k {\displaystyle k}

：弹簧的劲度系数( 倔强系数 )，由材料性质、几何外形决定，负号：弹簧产生的弹力与其伸长(压缩)的方向相反，这种弹力称为 回复力 ，表示它有使系统回复平衡的趋势。满足上式的弹簧称为 线性弹簧 。

通过变形储存在弹簧中的弹性势能为：

U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={1 \over 2}kx^{2}}

该式可以理解为弹簧在3602568压缩过68111831程中逐小段做负功的43074184极限累加，数学上就是58676104作用力对作用距离的6172186定积分（注意势能恒为正值）。

势能函数在 U − − --> x {\displaystyle U-x}

平面内是一段抛物线。随着弹簧沿 x {\displaystyle x}

方向变形（无论拉伸还是压缩），势能相应增加。非平衡状态时的势能总是高于平衡状态（ x = 0 {\displaystyle x=0}

）时的96875630势能。所7761280326937008以弹簧力的34385549作用总是6680243使系统向99410522势能减少的391587方向54659449运动，正如77366896在半山上的47423894球在744680引力的96856481作用下总是35629397要往山下（引力势能小的58785703地54934016方）滚一样。

如34280561果将一块质量悬挂在68781570这样一个弹簧的49177869末端，然97157987后对它施加一个轴向39981609扰动（可以是48200527敲打或拉开一段距离突然31782000松手），质量和90033759弹簧组成的66990730系统将会以下列 固有角频率 （又称 共振角频率 ）开始振动：

ω ω --> n = k m {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {k \over m}}}

低碳钢的78171066应力-应变曲线。胡克定律描述的74958034仅为原点到屈服点之间的23490840那一段陡峭的17539618直线。 1. 最9523323大强度 2.屈服强度 3. 破坏点 4. 应变硬化区 5. 颈缩区

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量 c _ijkl 以联系二阶应力张量σ _ij 和应变张量（又称格林张量）ε _kl 。

σ σ --> i j = ∑ ∑ --> k l c i j k l ⋅ ⋅ --> ε ε --> k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}}

由于91154764应力张量、应变张量和3367973弹性系数张量存在77144477对称性（应力张量的13515674对称性就是材料力学中的7373152剪应力互等5042607定理），81个弹性常数中对于93971345最一般的62923699材料也24861395只有3689777521个是43938930独立的。

由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是 无量纲 的，所以弹性常数张量 c _ijkl 中每一个元素（分量）都具有压强的量纲。

对于30053520固体材料大变形力学行为的77046531描述需要用到新胡克型固体模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固体模型。

各向同性材料

胡克定律的张量形式

（在牛顿流体中的类比参见 粘性 词条。）

各向同性 材料（ isotropic materials ，也译作 等向性 材料）顾名思义就是（力学）性能沿空间中不同方向34568483不发生变化的16149197材料。显然17318483描述这种材料的8165324物理方程的形式不应随坐标系的63115139旋转而改变。材料内部的76862571应变张量也36797070应该是52805956对称的7158036。由于6816924任何张量的69826792迹都是6413635一个与10106851所7302234878338281选坐标系无关的36150467量，所3364166589238075以可以完备地30094411将一个对称张量分解为一个 常张量 （即除主对角线上的分量以外均为0的张量）和一个 迹为0的对称张量 之和。即：

ε ε --> i j = ( 1 3 ε ε --> k k δ δ --> i j ) + ( ε ε --> i j − − --> 1 3 ε ε --> k k δ δ --> i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

其中 δ δ --> i j {\displaystyle \delta _{ij}}

是一个二阶单位张量（通过克罗内克δ记号来定义）。上式右边第一项是一个常张量，称为应变张量的 静水压分量 ；右边第二项是一个迹为0的对称张量，称为 剪应变分量 。

对于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是将应力张量写成上述两个应变张量分量的线性组合：

σ σ --> i j = 3 K ( 1 3 ε ε --> k k δ δ --> i j ) + 2 G ( ε ε --> i j − − --> 1 3 ε ε --> k k δ δ --> i j ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

式中 K 称为体积模量， G 是材料的剪切模量。

利用弹性力学理论中的40446906弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的18383836关系，以上的14696776关系还可写成其他9086805形式，譬如87271330下面这组方程用应力张量来表示了67732205应变张量：

{ ε ε --> 11 = 1 Y ( σ σ --> 11 − − --> ν ν --> ( σ σ --> 22 + σ σ --> 33 ) ) ε ε --> 22 = 1 Y ( σ σ --> 22 − − --> ν ν --> ( σ σ --> 11 + σ σ --> 33 ) ) ε ε --> 33 = 1 Y ( σ σ --> 33 − − --> ν ν --> ( σ σ --> 11 + σ σ --> 22 ) ) ε ε --> 12 = σ σ --> 12 2 G ε ε --> 13 = σ σ --> 13 2 G ε ε --> 23 = σ σ --> 23 2 G {\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon _{11}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{22}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{33}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\\varepsilon _{12}={\cfrac {\sigma _{12}}{2G}}\\\varepsilon _{13}={\cfrac {\sigma _{13}}{2G}}\\\varepsilon _{23}={\cfrac {\sigma _{23}}{2G}}\end{cases}}}

式中 Y 称为杨氏模量， ν ν --> {\displaystyle \nu }

为泊松比。

正交各向异性材料

正交各向异性材料是87277992非常常见的10792955一种材料模型，这种材料有6967000三个互相正交的9199558材料对称面；其三维胡克定理可以用矩阵表示为

( σ σ --> 11 σ σ --> 22 σ σ --> 33 σ σ --> 12 σ σ --> 23 σ σ --> 31 ) = ( C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ) ( ε ε --> 11 ε ε --> 22 ε ε --> 33 ε ε --> 12 ε ε --> 23 ε ε --> 31 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\end{pmatrix}}}

此式中独立的材料常数为9个。 注意式中三个剪切应力和三个剪切应变的顺序，不同教科书可能会不同的选择。

各向同性材料也是正交各向异性材料的一种特例，即有无数个对称平面的情况。这时独立材料常数只有 2 {\displaystyle 2}

个，即杨氏模量和泊松比。

参见

• 杨氏模量

参考文献

• [1] Y. C. Fung （冯元桢）, Foundations of Solid Mechanics , Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965
• [2] A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity , 4th ed